Giải tích Ví dụ

$\sqrt{\arctan (x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\arctan (x)}$ ở dạng ${\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \arctan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 7.3

Di chuyển ${\arctan (x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 8

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 9

Nhân $\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4

Đưa $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Đưa $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 x^{2} {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4.2

Đưa $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)}$

Bước 10.4.3

Đưa $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2}) + 2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{1}{2 {\arctan (x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$