Giải tích Ví dụ

$\sqrt{4 \sin (x) + 2}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 \sin (x) + 2}$ ở dạng ${(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 \sin (x) + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 \sin (x) + 2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \sin (x) + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 7.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sin (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + 0)$

Bước 9.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $4 \cos (x)$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x))$

Bước 9.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Bước 9.2.3

Kết hợp $\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 9.2.4

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cos (x)$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 ({(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cos (x)}{{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 \cos (x)}{{(2 + 4 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$