Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x \ln (x^{4})}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x \ln (x^{4})}$ ở dạng ${(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x \ln (x^{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{4}}$ và $x$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.4.2

Kết hợp $\frac{4}{x^{3}}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.4.3.2

Chia $4$ cho $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

Bước 10.6

Nhân $\ln (x^{4})$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $x \ln (x^{4})$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} (4 + \ln (x^{4}))$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \cdot 4 + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Bước 11.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Bước 11.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Bước 11.3.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Bước 11.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Bước 11.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

Bước 11.3.4

Kết hợp $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ và $\ln (x^{4})$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.5

Di chuyển ${\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.6

Nhân $\ln (x^{4})$ với ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.6.1

Nhân $\ln (x^{4})$ với ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.6.1.1

Nâng $\ln (x^{4})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln^{1} (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.6.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.3.6.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$