Giải tích Ví dụ

$\sin^{3} (x) \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin^{3} (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\sin^{3} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 3

Nhân $\sin^{3} (x)$ với $\sin (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $\sin (x)$ .

$\sin (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 3.2

Nhân $\sin (x)$ với $\sin^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sin (x)}^{1 + 3} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 3.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\sin^{4} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sin^{4} (x)$ .

$- 1 \cdot \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 4.2

Viết lại $- 1 \sin^{4} (x)$ ở dạng $- \sin^{4} (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + \cos (x) (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cdot \cos (x) \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 7

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos (x) \sin^{2} (x) \cos (x)$

Bước 8

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin^{2} (x)$

Bước 9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin^{2} (x)$

Bước 10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \sin^{4} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin^{2} (x)$

Bước 11

Cộng $1$ và $1$ .

$- \sin^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$