Giải tích Ví dụ

$\frac{\tan (x)}{1 + \cos (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + 1 \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 5.2

Nhân $\tan (x)$ với $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.5

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.8.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.9

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.10

Nhân $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.10.1

Kết hợp $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.10.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.10.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.10.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.10.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.5

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.6

Tách các phân số.

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.8

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) + \sin (x) \tan (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.2

Nhân $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Kết hợp $\sin (x)$ và $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.2.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.2.3

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.3

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.4.6

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5.2

Tách các phân số.

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{\sin (x)}{1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5.4

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5.6

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Bước 6.5.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$