Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (π x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (π x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Bước 3.3

Nhân $π$ với $1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ .

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

Bước 4.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $2 π$ và $\cos (π x) \sin (π x)$ .

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

Bước 4.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

Bước 4.5

Sắp xếp lại $\cos (π x)$ và $\sin (π x) \cdot 2$ .

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

Bước 4.6

Sắp xếp lại $\sin (π x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

Bước 4.7

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 (π x)) π$

Bước 4.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (2 π x) π$ .

$π \sin (2 π x)$