Giải tích Ví dụ

$\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Bước 1

Vì $54$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$ đối với $x$ là $54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$ .

$54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.3

Nhân ${(25 - x^{2})}^{2}$ với $1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 25 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $25 - x^{2}$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 (25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 5.2

Đưa $25 - x^{2}$ ra ngoài ${(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $25 - x^{2}$ ra ngoài ${(25 - x^{2})}^{2}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 5.2.2

Đưa $25 - x^{2}$ ra ngoài $- 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 5.2.3

Đưa $25 - x^{2}$ ra ngoài $(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $25 - x^{2}$ ra ngoài ${(25 - x^{2})}^{4}$ .

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $25 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 8

Vì $25$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $25$ đối với $x$ là $0$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 11

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 13

Nhân $2$ với $2$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x \cdot x}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 14

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 15

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17

Cộng $1$ và $1$ .

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 18

Cộng $- x^{2}$ và $4 x^{2}$ .

$54 \frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 19

Kết hợp $54$ và $\frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ .

$\frac{54 (25 + 3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{54 \cdot 25 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 20.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.2.1

Nhân $54$ với $25$ .

$\frac{1350 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 20.2.2

Nhân $3$ với $54$ .

$\frac{1350 + 162 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Bước 20.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{162 x^{2} + 1350}{{(- x^{2} + 25)}^{3}}$