Giải tích Ví dụ

$\frac{4 - \cos (x)}{4 + \sin (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 4 - \cos (x)$ và $g (x) = 4 + \sin (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [4 - \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (- - \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) (1 \sin (x)) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.2

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [4 + \sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 4.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{(4 + \sin (x)) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (4 - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + (- 1 \cdot 4 - - \cos (x)) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Nhân $\sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.1.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.3

Nhân $- - \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.3.2

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.4

Nhân $\cos (x) \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.4.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 4 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.2

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.4.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{4 \sin (x) + 1 - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1 + 4 \sin (x) - 4 \cos (x)}{{(4 + \sin (x))}^{2}}$