Giải tích Ví dụ

$\frac{3 x - 2}{2 x + 3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x - 2$ và $g (x) = 2 x + 3$ .

$\frac{(2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2] - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(2 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(2 x + 3) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{(2 x + 3) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $2 x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (2 x + 3) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.10

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [3])}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.11

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 2.12.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 (2 x + 3) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 (2 x) + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $3 (2 x)$ và $- 2 (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot 3 x + 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.3.1.2

Trừ $2 \cdot 3 x$ khỏi $2 \cdot 3 x$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.3.1.3

Cộng $3 \cdot 3$ và $0$ .

$\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{9 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.3.2.2

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{9 + 4}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Bước 3.3.3

Cộng $9$ và $4$ .

$\frac{13}{{(2 x + 3)}^{2}}$