Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{2} + 3 y^{2}}{e^{x^{2} + y^{2}}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2} + 3 y^{2}$ và $g (x) = e^{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{{(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{(x^{2} + y^{2}) \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{x^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 2}}$

Bước 2.1.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + y^{2} \cdot 2}}$

Bước 2.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2}}}$

Bước 2.1.5

Nhân $2$ với $y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 2.4

Vì $3 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 2.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 4.3

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 4.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - 2 (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 6 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x) - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2.1.4

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x \cdot x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x^{1} x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{1 + 2} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2.1.4.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)$ .

$\frac{2 x e^{x^{2} + y^{2}} - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} x e^{x^{2} + y^{2}}}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.4

Đưa $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ ra ngoài $2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ ra ngoài $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.4.2

Đưa $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ ra ngoài $- 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3}$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.4.3

Đưa $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ ra ngoài $- 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.4.4

Đưa $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ ra ngoài $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2})$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.4.5

Đưa $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ ra ngoài $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})$ .

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x^{2} + y^{2}}$ và $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đưa $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ ra ngoài $2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ .

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

Bước 5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{1}$

Bước 5.5.2.4

Chia $2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ cho $1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Bước 5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2}) - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Bước 5.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Bước 5.6.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Bước 5.7

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Bước 5.8

Trừ $2 y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

Bước 5.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x \cdot 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Bước 5.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Nhân $2$ với $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Bước 5.10.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Bước 5.10.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x^{1}) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Bước 5.10.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{2 + 1} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Bước 5.10.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

Bước 5.10.3

Nhân $- 3$ với $2$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

Bước 5.11

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

Bước 5.12

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2} - y^{2}} - 2 x^{3} e^{- x^{2} - y^{2}} - 6 x y^{2} e^{- x^{2} - y^{2}}$