Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin^{2} (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin^{2} (3 x)$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x) (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (3 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{2 \cos (3 x) \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 5

Nâng $\cos (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 6

Nâng $\cos (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{1 + 1} \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 8.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 8.3

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 8.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1 - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 8.5

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 9.2

Đạo hàm của $\cos (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 x$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) - \sin^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 1 \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 10.2

Nhân $\sin^{2} (3 x)$ với $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 11

Nhân $\sin^{2} (3 x)$ với $\sin (3 x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển $\sin (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 11.2

Nhân $\sin (3 x)$ với $\sin^{2} (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $\sin (3 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 11.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 12

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) (3 \cdot 1)}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + \sin^{3} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}$

Bước 14.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sin^{3} (3 x)$ .

$\frac{6 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 3 \sin^{3} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$