Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{2 x} + 1$ và $g (x) = e^{2 x} - 1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 1] - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Cộng $2 e^{2 x}$ và $0$ .

$\frac{(e^{2 x} - 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 4.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{2 x} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 6.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 6.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x} + 0)}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 6.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Cộng $2 e^{2 x}$ và $0$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - (e^{2 x} + 1) (2 e^{2 x})}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 6.5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1) e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} + 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} + (- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1) e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 e^{2 x} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Trừ $2 e^{2 x} e^{2 x}$ khỏi $2 e^{2 x} e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} + 0 - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.5.1.2

Cộng $2 \cdot - 1 e^{2 x}$ và $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.5.2.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.5.3

Trừ $2 e^{2 x}$ khỏi $- 2 e^{2 x}$ .

$\frac{- 4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{2 x} - 1)}^{2}}$

Bước 7.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Viết lại $e^{2 x}$ ở dạng ${(e^{x})}^{2}$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 7.7.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{({(e^{x})}^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Bước 7.7.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = e^{x}$ và $b = 1$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}^{2}}$

Bước 7.7.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)$ .

$- \frac{4 e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2} {(e^{x} - 1)}^{2}}$