Giải tích Ví dụ

$2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t^{3} + 6 t - \frac{4}{t^{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{3}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [6 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $6$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $6 t$ đối với $t$ là $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{2} + 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 t^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Bước 3.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{t^{2}}$ đối với $t$ là $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1}{t^{2}}$ ở dạng ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{2}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))$

Bước 4.5

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))$

Bước 4.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- t^{- 4} (2 t))$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 4} t)$

Bước 4.7

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))$

Bước 4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{1 - 4})$

Bước 4.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$6 t^{2} + 6 - 4 (- 2 t^{- 3})$

Bước 4.10

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 t^{- 3}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 t^{2} + 6 + 8 \frac{1}{t^{3}}$

Bước 5.2

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{t^{3}}$ .

$6 t^{2} + 6 + \frac{8}{t^{3}}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 t^{2} + \frac{8}{t^{3}} + 6$