Giải tích Ví dụ

$y = t \ln^{2} (8 t)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = \ln^{2} (8 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (8 t)] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = \ln (8 t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\ln (8 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\ln (8 t)$ .

$t (2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [\ln (8 t)]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \ln (t)$ và $g (t) = 8 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $8 t$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $8 t$ .

$t (2 \ln (8 t) (\frac{1}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t])) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{8 t}$ và $2$ .

$t (\frac{2}{8 t} \ln (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\frac{2}{8 t}$ và $\ln (8 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \ln (8 t)$ .

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 t$ .

$t (\frac{2 (\ln (8 t))}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$t (\frac{2 \ln (8 t)}{2 (4 t)} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$t (\frac{\ln (8 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2.3

Kết hợp $\frac{\ln (8 t)}{4 t}$ và $t$ .

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (8 t) t}{4 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.3

Vì $8$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $8 t$ đối với $t$ là $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (8 t)}{4} (8 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $8$ và $\frac{\ln (8 t)}{4}$ .

$\frac{8 \ln (8 t)}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8 \ln (8 t)$ .

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (2 \ln (8 t))}{4 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \ln (8 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.4.2.2.4

Chia $2 \ln (8 t)$ cho $1$ .

$2 \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \ln (8 t) \cdot 1 + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [t]$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t) \cdot 1$

Bước 4.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Nhân $\ln^{2} (8 t)$ với $1$ .

$2 \ln (8 t) + \ln^{2} (8 t)$

Bước 4.8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln^{2} (8 t) + 2 \ln (8 t)$