Giải tích Ví dụ

$y = 4^{\sqrt{t}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [4^{t^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = 4^{t}$ và $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 10

Kết hợp $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $4^{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}}}{2} \ln (4)$

Bước 11

Kết hợp $\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}}}{2}$ và $\ln (4)$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4)}{2}$

Bước 12

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (4)}{2 t^{\frac{1}{2}}}$