Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt[5]{t} + 4 \sqrt{t^{5}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\sqrt[5]{t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2.6.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t^{5}}$ ở dạng $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d t} [4 t^{\frac{5}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t^{\frac{5}{2}}$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 3.9

Kết hợp $4$ và $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{4 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 3.10

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{20 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Bước 3.11

Đưa $2$ ra ngoài $20 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Bước 3.12

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Bước 3.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Bước 3.12.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Bước 3.12.4

Chia $10 t^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}} + 10 t^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$10 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5 t^{\frac{4}{5}}}$