Giải tích Ví dụ

$(x^{3} + 1) (3 x^{2} - 4 x + 2)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3} + 1$ và $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 4 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x^{3} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.5

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.7

Nhân $- 4$ với $1$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.8

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.9

Cộng $6 x - 4$ và $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 2.12

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Bước 2.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Bước 2.13.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{3} + 1) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{3} + 1) (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + (x^{3} + 1) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{3} (6 x) + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 1 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 x^{4} + 6 x + x^{3} \cdot - 4 + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.4

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 \cdot x^{3} + 1 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.5

Nhân $- 4$ với $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.6

Nhân $3$ với $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.7

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.7.3

Cộng $2$ và $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.8

Nhân $- 4$ với $3$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.9

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.9.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.9.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.9.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.9.3

Cộng $2$ và $1$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 3.6.10

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 3.6.11

Cộng $6 x^{4}$ và $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 4 x^{3} - 4 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 3.6.12

Trừ $12 x^{3}$ khỏi $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 6 x - 16 x^{3} - 4 + 6 x^{2}$

Bước 3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x - 4$