Giải tích Ví dụ

$(x - 1) {(x^{2} + 2)}^{3}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x - 1$ và $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{3}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{3}] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 2$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2$ .

$(x - 1) (3 {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x - 1$ .

$3 \cdot (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 3.8

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + 0)$

Bước 3.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Cộng $1$ và $0$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \cdot 1$

Bước 3.9.2

Nhân ${(x^{2} + 2)}^{3}$ với $1$ .

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(6 x + 6 \cdot - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Bước 4.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Bước 4.3

Đưa ${(x^{2} + 2)}^{2}$ ra ngoài $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa ${(x^{2} + 2)}^{2}$ ra ngoài $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{3}$

Bước 4.3.2

Đưa ${(x^{2} + 2)}^{2}$ ra ngoài ${(x^{2} + 2)}^{3}$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$

Bước 4.3.3

Đưa ${(x^{2} + 2)}^{2}$ ra ngoài ${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x + x^{2} + 2)$