Giải tích Ví dụ

$4 \cos^{2} (x) - 9 \cos (x) + 2 = 0$

Bước 1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giả sử $u = \cos (x)$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $\cos (x)$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = 4 \cdot 2 = 8$ và có tổng là $b = - 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $- 9$ ra ngoài $- 9 u$ .

$4 u^{2} - 9 u + 2 = 0$

Bước 1.2.1.2

Viết lại $- 9$ ở dạng $- 1$ cộng $- 8$

$4 u^{2} + (- 1 - 8) u + 2 = 0$

Bước 1.2.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 u^{2} - 1 u - 8 u + 2 = 0$

Bước 1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$(4 u^{2} - 1 u) - 8 u + 2 = 0$

Bước 1.2.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$u (4 u - 1) - 2 (4 u - 1) = 0$

Bước 1.2.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 2) = 0$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$

Bước 2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) - 2 = 0$

Bước 3

Đặt $4 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt $4 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 3.2

Giải $4 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 \cos (x) = 1$

Bước 3.2.2

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (x) = 1$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 \cos (x) = 1$ cho $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 3.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Bước 3.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

Bước 3.2.3

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

Bước 3.2.4

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Tính $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

Bước 3.2.5

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Bước 3.2.6

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

Bước 3.2.6.2

Rút gọn $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Nhân $2$ với $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

Bước 3.2.6.2.2

Trừ $1.31811607$ khỏi $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

Bước 3.2.7

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 3.2.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 3.2.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 3.2.7.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 3.2.8

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 4

Đặt $\cos (x) - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đặt $\cos (x) - 2$ bằng với $0$ .

$\cos (x) - 2 = 0$

Bước 4.2

Giải $\cos (x) - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = 2$

Bước 4.2.2

Khoảng biến thiên của cosin là $- 1 \leq y \leq 1$ . Vì $2$ không nằm trong khoảng biến thiên này, nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(4 \cos (x) - 1) (\cos (x) - 2) = 0$ đúng.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$