Giải tích Ví dụ

${(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}} = 3^{4 x}$

Bước 1

Lấy logarit của cả hai vế của phương trình.

$\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}}) = \ln (3^{4 x})$

Bước 2

Khai triển $\ln ({(\frac{1}{25})}^{1 - 3 x^{2}})$ bằng cách di chuyển $1 - 3 x^{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$(1 - 3 x^{2}) \ln (\frac{1}{25}) = \ln (3^{4 x})$

Bước 3

Viết lại $\ln (\frac{1}{25})$ ở dạng $\ln (1) - \ln (25)$ .

$(1 - 3 x^{2}) (\ln (1) - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Bước 4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (25)) = \ln (3^{4 x})$

Bước 5

Viết lại $\ln (25)$ ở dạng $\ln (5^{2})$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - \ln (5^{2})) = \ln (3^{4 x})$

Bước 6

Khai triển $\ln (5^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$(1 - 3 x^{2}) (0 - (2 \ln (5))) = \ln (3^{4 x})$

Bước 7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(1 - 3 x^{2}) (0 - 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Bước 8

Trừ $2 \ln (5)$ khỏi $0$ .

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = \ln (3^{4 x})$

Bước 9

Khai triển $\ln (3^{4 x})$ bằng cách di chuyển $4 x$ ra bên ngoài lôgarit.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Bước 10

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn $(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Viết lại.

$0 + 0 + (1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Bước 10.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$(1 - 3 x^{2}) (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Bước 10.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (- 2 \ln (5)) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Bước 10.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.4.1

Nhân $- 2 \ln (5)$ với $1$ .

$- 2 \ln (5) - 3 x^{2} (- 2 \ln (5)) = 4 x \ln (3)$

Bước 10.1.4.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 2 \ln (5) - 3 \cdot - 2 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Bước 10.1.4.3

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) = 4 x \ln (3)$

Bước 10.2

Trừ $4 x \ln (3)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \ln (5) + 6 x^{2} \ln (5) - 4 x \ln (3) = 0$

Bước 10.3

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 10.4

Thay các giá trị $a = 6 \ln (5)$ , $b = - 4 \ln (3)$ , và $c = - 2 \ln (5)$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 \ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))}}{2 (6 \ln (5))}$

Bước 10.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (3))}^{2} - 4 \cdot (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.2

Giả sử $u = 6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (3) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.2.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (3) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $16 \ln^{2} (3) - 4 u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $16 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) - 4 u}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.3.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (4 \ln^{2} (3)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - u)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \cdot (- 2 \ln (5)))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.5.1

Nhân $\ln (5)$ với $\ln (5)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.5.1.1

Di chuyển $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln (5) \ln (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.5.1.2

Nhân $\ln (5)$ với $\ln (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (\ln^{2} (5) \cdot - 2)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.5.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (6 (- 2 \cdot \ln^{2} (5))))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.5.3

Nhân $- 2$ với $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) - (- 12 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.5.4

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \ln^{2} (3)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 12 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $12 \ln^{2} (5)$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \ln^{2} (3) + 4 (3 \ln^{2} (5))$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4 \cdot (4 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.7

Nhân $4$ với $4$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.8

Viết lại $16 (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ ở dạng ${(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.8.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{4^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5))}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.9

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 2^{2} \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.1.10

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{2 \cdot (6 \ln (5))}$

Bước 10.5.2

Nhân $2$ với $6$ .

$x = \frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$

Bước 10.5.3

Rút gọn $\frac{4 \ln (3) \pm 4 \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{12 \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (3) \pm \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Bước 10.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{\ln (3) + \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}, \frac{\ln (3) - \sqrt{\ln^{2} (3) + 3 \ln^{2} (5)}}{3 \ln (5)}$

Dạng thập phân:

$x = 0.84810424 \dots, - 0.39303344 \dots$