Giải tích Ví dụ

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} = - 49$

Bước 1

Cộng $49$ cho cả hai vế của phương trình.

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Bước 2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $4^{x}$ ở dạng ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Bước 2.2

Viết lại ${(2^{2})}^{x}$ ở dạng ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} + 49 = 0$

Bước 2.3

Giả sử $u = 2^{x}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $2^{x}$ .

$u^{2} - 14 u + 49 = 0$

Bước 2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$u^{2} - 14 u + 7^{2} = 0$

Bước 2.4.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Bước 2.4.3

Viết lại đa thức này.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2} = 0$

Bước 2.4.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = u$ và $b = 7$ .

${(u - 7)}^{2} = 0$

Bước 2.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2^{x}$ .

${(2^{x} - 7)}^{2} = 0$

Bước 3

Đặt $2^{x} - 7$ bằng $0$ .

$2^{x} - 7 = 0$

Bước 4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$2^{x} = 7$

Bước 4.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (2^{x}) = \ln (7)$

Bước 4.3

Khai triển $\ln (2^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$x \ln (2) = \ln (7)$

Bước 4.4

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (2) = \ln (7)$ cho $\ln (2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x \ln (2) = \ln (7)$ cho $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Bước 4.4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (2)}$

Dạng thập phân:

$x = 2.80735492 \dots$