Giải tích Ví dụ

$\ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Bước 1

Tìm các tiệm cận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đặt đối số của logarit bằng 0.

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Bước 1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 1.2.2

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = - 2$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.2.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.3

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.4

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (8)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.7

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.2.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.3

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.4

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (8)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.7

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Bước 1.2.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Bước 1.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}$

Bước 1.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.2.2

Nhân $- 12$ với $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.3

Trừ $12$ khỏi $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.4

Viết lại $- 8$ ở dạng $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (8)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.7

Viết lại $8$ ở dạng $2^{2} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Bước 1.2.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Bước 1.2.5.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Bước 1.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Bước 1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Bước 1.3

Tiệm cận đứng xảy ra tại $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ .

Tiệm cận đứng: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Bước 2

Tìm một điểm tại $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = \ln (3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 1)$

Bước 2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = \ln (3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 1)$

Bước 2.2.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 \cdot 1 + 1)$

Bước 2.2.1.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (1) = \ln (3 - 2 + 1)$

Bước 2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Bước 2.2.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Bước 2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Bước 2.3

Quy đổi $\ln (2)$ thành số thập phân.

$y = 0.69314718$

Bước 3

Tìm một điểm tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f (2) = \ln (3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 1)$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (2) = \ln (3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1)$

Bước 3.2.1.2

Nhân $3$ với $4$ .

$f (2) = \ln (12 - 2 \cdot 2 + 1)$

Bước 3.2.1.3

Nhân $- 2$ với $2$ .

$f (2) = \ln (12 - 4 + 1)$

Bước 3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Trừ $4$ khỏi $12$ .

$f (2) = \ln (8 + 1)$

Bước 3.2.2.2

Cộng $8$ và $1$ .

$f (2) = \ln (9)$

Bước 3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (9)$ .

$\ln (9)$

Bước 3.3

Quy đổi $\ln (9)$ thành số thập phân.

$y = 2.19722457$

Bước 4

Tìm một điểm tại $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $3$ với ${(3)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nhân $3$ với ${(3)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Bước 4.2.1.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2} - 2 \cdot 3 + 1)$

Bước 4.2.1.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3} - 2 \cdot 3 + 1)$

Bước 4.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 2 \cdot 3 + 1)$

Bước 4.2.1.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$f (3) = \ln (27 - 6 + 1)$

Bước 4.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Trừ $6$ khỏi $27$ .

$f (3) = \ln (21 + 1)$

Bước 4.2.2.2

Cộng $21$ và $1$ .

$f (3) = \ln (22)$

Bước 4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\ln (22)$ .

$\ln (22)$

Bước 4.3

Quy đổi $\ln (22)$ thành số thập phân.

$y = 3.09104245$

Bước 5

Hàm logarit có thể được vẽ bằng tiệm cận đứng tại $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$ và các điểm $(1, 0.69314718), (2, 2.19722457), (3, 3.09104245)$ .

Tiệm cận đứng: $x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, x = \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.693 \\ 2 & 2.197 \\ 3 & 3.091 \end{array}$

Bước 6