Giải tích Ví dụ

$\tan (x y) = x - 1$ , $(1, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x - 1)$

Bước 1.2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 1.2.1.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Bước 1.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

Bước 1.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

Bước 1.2.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.3.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

Bước 1.5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ .

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

Bước 1.5.2

Trừ $y \sec^{2} (x y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

Bước 1.5.3

Chia mỗi số hạng trong $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ cho $x \sec^{2} (x y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ cho $x \sec^{2} (x y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Bước 1.5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Bước 1.5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Bước 1.5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Bước 1.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (x y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

Bước 1.5.3.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

Bước 1.5.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Bước 1.6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

Bước 1.7

Tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot y)} - \frac{y}{1}$

Bước 1.7.2

Thay thế biến $y$ bằng $0$ trong biểu thức.

$\frac{1}{(1) \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 \sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.3

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} ((1) \cdot (0))}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec ((1) \cdot (0))})}^{2} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.4

Viết lại $\sec ((1) \cdot (0))$ theo sin và cosin.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}})}^{2} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos ((1) \cdot (0))}$ .

${(1 \cos ((1) \cdot (0)))}^{2} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.3.6.1

Nhân $0$ với $1$ .

${(1 \cos (0))}^{2} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.6.2

Nhân $\cos (0)$ với $1$ .

$\cos^{2} (0) - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.7

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$1^{2} - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 - \frac{0}{1}$

Bước 1.7.3.9

Chia $0$ cho $1$ .

$1 - 0$

Bước 1.7.3.10

Nhân $- 1$ với $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.7.4

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $1$ và một điểm đã cho $(1, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.2

Nhân $x - 1$ với $1$ .

$y = x - 1$

Bước 3