Giải tích Ví dụ

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - x^{2}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{2} = 2 x - x^{2}$

Bước 1.2

Giải $x^{2} = 2 x - x^{2}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $x$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$2 x - x^{2} = x^{2}$

Bước 1.2.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x - x^{2} - x^{2} = 0$

Bước 1.2.2.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = 0$

Bước 1.2.3

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$2 u - 2 u^{2} = 0$

Bước 1.2.3.2

Đưa $2 u$ ra ngoài $2 u - 2 u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Đưa $2 u$ ra ngoài $2 u$ .

$2 u (1) - 2 u^{2} = 0$

Bước 1.2.3.2.2

Đưa $2 u$ ra ngoài $- 2 u^{2}$ .

$2 u (1) + 2 u (- u) = 0$

Bước 1.2.3.2.3

Đưa $2 u$ ra ngoài $2 u (1) + 2 u (- u)$ .

$2 u (1 - u) = 0$

Bước 1.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$2 x (1 - x) = 0$

Bước 1.2.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 x - x^{2}$

Bước 1.2.5

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.6

Đặt $1 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $1 - x$ bằng với $0$ .

$1 - x = 0$

Bước 1.2.6.2

Giải $1 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 1$

Bước 1.2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 1.2.6.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$x = 1$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 x (1 - x) = 0$ đúng.

$x = 0, 1$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = 2 (0) - {(0)}^{2}$

Bước 1.3.2

Thế $0$ vào $x$ trong $y = 2 (0) - {(0)}^{2}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 (0) - 0^{2}$

Bước 1.3.2.2

Rút gọn $2 (0) - 0^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

Bước 1.3.2.2.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$y = 0 - 0$

Bước 1.3.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$y = 0 + 0$

Bước 1.3.2.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = 2 (1) - {(1)}^{2}$

Bước 1.4.2

Thế $1$ vào $x$ trong $y = 2 (1) - {(1)}^{2}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 (1) - 1^{2}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn $2 (1) - 1^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y = 2 - 1^{2}$

Bước 1.4.2.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = 2 - 1 \cdot 1$

Bước 1.4.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = 2 - 1$

Bước 1.4.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$y = 1$

Bước 1.5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Bước 2

Sắp xếp lại $2 x$ và $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Bước 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x^{2} d x$

Bước 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x^{2}) d x$

Bước 4.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} + 2 x d x$

Bước 4.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Bước 4.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Bước 4.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Bước 4.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Bước 4.7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Bước 4.8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Bước 4.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Bước 4.9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$- 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Bước 4.9.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$- 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 2 (\frac{1}{3} - 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3} + 0) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.5

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$- 2 (\frac{1}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 4.9.2.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Bước 4.9.2.3.10

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.3.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 4.9.2.3.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.3.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 4.9.2.3.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 4.9.2.3.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Bước 4.9.2.3.10.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Bước 4.9.2.3.11

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Bước 4.9.2.3.12

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$- \frac{2}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

Bước 4.9.2.3.13

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Bước 4.9.2.3.14

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.3.14.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{3} + \frac{2}{2}$

Bước 4.9.2.3.14.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{3} + 1$

Bước 4.9.2.3.15

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

Bước 4.9.2.3.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 + 3}{3}$

Bước 4.9.2.3.17

Cộng $- 2$ và $3$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 5