Giải tích Ví dụ

$y = 2 x + 15$ , $y = x^{2}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$2 x + 15 = x^{2}$

Bước 1.2

Giải $2 x + 15 = x^{2}$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x + 15 - x^{2} = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 x + 15 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Sắp xếp lại biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1.1

Di chuyển $15$ .

$2 x - x^{2} + 15 = 0$

Bước 1.2.2.1.1.2

Sắp xếp lại $2 x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 15 = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 15 = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 15 = 0$

Bước 1.2.2.1.4

Viết lại $15$ ở dạng $- 1 (- 15)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Bước 1.2.2.1.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 15 = 0$

Bước 1.2.2.1.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 15)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Bước 1.2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Phân tích $x^{2} - 2 x - 15$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 15$ và tổng của chúng là $- 2$ .

$- 5, 3 + y = x^{2}$

Bước 1.2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Bước 1.2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- (x - 5) (x + 3) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

Bước 1.2.4

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 1.2.4.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 1.2.5

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 1.2.5.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- (x - 5) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = 5, - 3$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $5$ bằng $x$ .

$y = {(5)}^{2}$

Bước 1.3.2

Thế $5$ vào $x$ trong $y = {(5)}^{2}$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 5^{2}$

Bước 1.3.2.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 25$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $- 3$ bằng $x$ .

$y = {(- 3)}^{2}$

Bước 1.4.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = 9$

Bước 1.5

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

$(5, 25)$

$(- 3, 9)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 3}^{5} 2 x + 15 d x - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 3$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - (x^{2}) d x$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{5} 2 x + 15 - x^{2} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{5} 2 x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Bước 3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{- 3}^{5} x d x + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Bước 3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d x + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Bước 3.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} + \int_{- 3}^{5} - x^{2} d x$

Bước 3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - \int_{- 3}^{5} x^{2} d x$

Bước 3.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{5})$

Bước 3.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Bước 3.10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $5$ và tại $- 3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 x]_{- 3}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Bước 3.10.2.2

Tính $15 x$ tại $5$ và tại $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{5})$

Bước 3.10.2.3

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $5$ và tại $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{25 - 9}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.4

Trừ $9$ khỏi $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{8}{1}) + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.5.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$2 \cdot 8 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.6

Nhân $2$ với $8$ .

$16 + 15 \cdot 5 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.7

Nhân $15$ với $5$ .

$16 + 75 - 15 \cdot - 3 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.8

Nhân $- 15$ với $- 3$ .

$16 + 75 + 45 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.9

Cộng $75$ và $45$ .

$16 + 120 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.10

Cộng $16$ và $120$ .

$136 - ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.11

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Bước 3.10.2.4.12

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3})$

Bước 3.10.2.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.13.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 27$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Bước 3.10.2.4.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.13.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Bước 3.10.2.4.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Bước 3.10.2.4.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$136 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1})$

Bước 3.10.2.4.13.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$136 - (\frac{125}{3} - - 9)$

Bước 3.10.2.4.14

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$136 - (\frac{125}{3} + 9)$

Bước 3.10.2.4.15

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$136 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 3.10.2.4.16

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$136 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Bước 3.10.2.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$136 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3}$

Bước 3.10.2.4.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.18.1

Nhân $9$ với $3$ .

$136 - \frac{125 + 27}{3}$

Bước 3.10.2.4.18.2

Cộng $125$ và $27$ .

$136 - \frac{152}{3}$

Bước 3.10.2.4.19

Để viết $136$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$136 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3}$

Bước 3.10.2.4.20

Kết hợp $136$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{136 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3}$

Bước 3.10.2.4.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{136 \cdot 3 - 152}{3}$

Bước 3.10.2.4.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.2.4.22.1

Nhân $136$ với $3$ .

$\frac{408 - 152}{3}$

Bước 3.10.2.4.22.2

Trừ $152$ khỏi $408$ .

$\frac{256}{3}$

Bước 4