Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}$

Bước 1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Bước 1.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 1 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Bước 1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.3

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 2 + x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.5

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.6

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\cos (0) + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.8.1.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} (- 2 + 0)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.8.1.3

Cộng $- 2$ và $0$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot - 2}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.8.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.8.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.8.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.8.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.2.8.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Bước 2.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0^{4}}$

Bước 2.1.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 2 + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.2

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) + x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2) - 1 (- x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (2) - 1 (- x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) + \frac{- 1 (2 - x^{2})}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) - \frac{2 - x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.7

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2 - x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 - x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (0 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.7

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{1}{2} (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.8

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.10

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.11

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.8.11.2

Chia $x$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + x}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Bước 2.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{4 x^{3}}$

Bước 3

Chuyển số hạng $\frac{1}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.2.3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.2.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.2.4.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.2.4.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Bước 4.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Bước 4.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0^{3}}$

Bước 4.1.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 4.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 4.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Bước 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 4.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 4.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 4.3.4.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 4.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{3 x^{2}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $\frac{1}{3}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Bước 6

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.2.1.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.2.1.3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.3.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.2.3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.2.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Bước 6.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Bước 6.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0^{2}}$

Bước 6.1.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Bước 6.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Bước 6.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{0}{0}$

Bước 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.4.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.4.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.4.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.5

Cộng $0$ và $\sin (x)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Bước 6.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Bước 7

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Bước 8

Vì $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ và $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , sử dụng định lý kẹp.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 9.1.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 9.2

Nhân $\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{1}{12}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12 \cdot 2} \cdot 1$

Bước 9.2.2

Nhân $12$ với $2$ .

$\frac{1}{24} \cdot 1$

Bước 9.3

Nhân $\frac{1}{24}$ với $1$ .

$\frac{1}{24}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{24}$

Dạng thập phân:

$0.041\overline{6}$