Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

Bước 1

Nhân tử số và mẫu số với $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x)}{\sin (π x) \cdot (π x)}$

Bước 2

Nhân tử số và mẫu số với $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot (π x) \cdot x}{x \cdot \sin (π x) \cdot (π x)}$

Bước 3

Tách các phân số.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot \frac{x}{π x}$

Bước 4

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5

Giới hạn của $\frac{\sin (x)}{x}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ là $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.1.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.4.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.5

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 5.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6

Giới hạn của $\frac{π x}{\sin (π x)}$ khi $x$ tiến dần đến $0$ là $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} π x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$1 \cdot \frac{π lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$1 \cdot \frac{π \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.2.3

Nhân $π$ với $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.3.1.2

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (π \cdot 0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.3.1

Nhân $π$ với $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.3.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{π x}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.2

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.4

Nhân $π$ với $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.5.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $π x$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.6

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) (π \cdot 1)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.8

Nhân $π$ với $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{\cos (π x) π} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.3.9

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (π x) π$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{π}{π \cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.4.2

Viết lại biểu thức.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (π x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (π x)}$ sang $\sec (π x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.6.2

Chuyển số hạng $π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$1 \cdot \sec (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.7

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$1 \cdot \sec (π \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Nhân $π$ với $0$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 6.8.2

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 7

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{π x}$

Bước 7.2

Viết lại biểu thức.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{π}$

Bước 8

Tính giới hạn của $\frac{1}{π}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{π}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 \cdot \frac{1}{π}$

Bước 9.2

Nhân $\frac{1}{π}$ với $1$ .

$\frac{1}{π}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{π}$

Dạng thập phân:

$0.31830988 \dots$