Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\tan (5 x)}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\tan (5 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Bước 1.2

Viết lại $\tan (3 x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Bước 1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ sang $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Bước 1.4.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ sang $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Bước 2

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Bước 3

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (3 x) \cot (5 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ - 0.1 & 0.5662362 \\ - 0.01 & 0.59967983 \\ - 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Bước 4

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.6$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (3 x) \cot (5 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0.6$ .

$0.6$

Bước 5

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \cot (5 x)$

Bước 6

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\tan (3 x) \cot (5 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \cot (5 x) \\ 0.1 & 0.5662362 \\ 0.01 & 0.59967983 \\ 0.001 & 0.59999679 \end{array}$

Bước 7

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0.6$ . Cho nên, giới hạn của $\tan (3 x) \cot (5 x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0.6$ .

$0.6$