Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x^{2}$

Bước 1

Xét công thức tỉ sai phân.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Bước 2

Tìm của thành phần của định nghĩa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính hàm số tại $x = x + h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $x + h$ trong biểu thức.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2}$

Bước 2.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Viết lại ${(x + h)}^{2}$ ở dạng $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h))$

Bước 2.1.2.2

Khai triển $(x + h) (x + h)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Bước 2.1.2.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Bước 2.1.2.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Bước 2.1.2.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Bước 2.1.2.3.1.2

Nhân $h$ với $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Bước 2.1.2.3.2

Cộng $x h$ và $h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.3.2.1

Sắp xếp lại $x$ và $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Bước 2.1.2.3.2.2

Cộng $h x$ và $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Bước 2.1.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

Bước 2.1.2.5

Nhân $2$ với $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Bước 2.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

Bước 2.2

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

Bước 2.2.2

Sắp xếp lại $8 h x$ và $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

Bước 2.3

Tìm của thành phần của định nghĩa.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = 4 x^{2}$

Bước 3

Điền vào các thành phần.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (4 x^{2})}{h}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Viết lại $4 h^{2}$ ở dạng ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Bước 4.1.1.2

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Bước 4.1.1.3

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Bước 4.1.1.4

Viết lại đa thức này.

$\frac{{(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Bước 4.1.1.5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 2 h$ và $b = 2 x$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - 1 \cdot 4 x^{2}}{h}$

Bước 4.1.2

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 h + 2 x)}^{2} - {(2 x)}^{2}}{h}$

Bước 4.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 2 h + 2 x$ và $b = 2 x$ .

$\frac{(2 h + 2 x + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Bước 4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Cộng $2 x$ và $2 x$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Bước 4.1.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 h + 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 h$ .

$\frac{(2 h + 4 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Bước 4.1.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{(2 h + 2 (2 x)) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Bước 4.1.4.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 h + 2 (2 x)$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - (2 x))}{h}$

Bước 4.1.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 2 x - 2 x)}{h}$

Bước 4.1.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 h + 2 x - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Trừ $2 x$ khỏi $2 x$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h + 0)}{h}$

Bước 4.1.5.2

Cộng $2 h$ và $0$ .

$\frac{2 (h + 2 x) (2 h)}{h}$

$\frac{2 (h + 2 x) \cdot 2 h}{h}$

Bước 4.1.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Bước 4.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (h + 2 x) h}{h}$

Bước 4.2.1.2

Chia $4 (h + 2 x)$ cho $1$ .

$4 (h + 2 x)$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 h + 4 (2 x)$

Bước 4.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $2$ với $4$ .

$4 h + 8 x$

Bước 4.2.3.2

Sắp xếp lại $4 h$ và $8 x$ .

$8 x + 4 h$

Bước 5