Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Bước 4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int x^{\frac{1}{4}} d x + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) + \int - 7 x^{\frac{3}{4}} d x$

Bước 6

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 7$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C) - 7 (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$5 (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $5$ và $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.2

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{20}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Đưa $5$ ra ngoài $20$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 (1)} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1} x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.3.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} - 7 (\frac{4}{7}) x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.4

Kết hợp $- 7$ và $\frac{4}{7}$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 7 \cdot 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.5

Nhân $- 7$ với $4$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 28}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 28$ và $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Đưa $7$ ra ngoài $- 28$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.2.1

Đưa $7$ ra ngoài $7$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 (1)} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{7 \cdot - 4}{7 \cdot 1} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 x^{\frac{5}{4}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 8.2.6.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5 x^{\frac{1}{4}} - 7 x^{\frac{3}{4}}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{5}{4}} - 4 x^{\frac{7}{4}} + C$