Giải tích Ví dụ

$f (x) = x {(4 - x)}^{2}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x {(4 - x)}^{2} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 4 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 4 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 3.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 3.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - (- u + 4) u^{2} d u$

Bước 4

Khai triển $- (- u + 4) u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (- - u - 1 \cdot 4) u^{2} d u$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Bước 4.3

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Bước 4.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Bước 4.5

Nhân $u$ với $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Bước 4.6

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Bước 4.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Bước 4.8

Cộng $1$ và $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 4 u^{2} d u$

Bước 4.9

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Bước 7

Vì $- 4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Bước 9.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - x$ .

$\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x {(4 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(4 - x)}^{4} - \frac{4}{3} {(4 - x)}^{3} + C$