Giải tích Ví dụ

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

Bước 1

Viết $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3.3

Nhân $9$ với $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3 x^{2} - 12 x + 9$ và $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 12 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.3.3

Nhân $- 12$ với $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $6 x - 12$ và $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Bước 5

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x^{2}$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.2.3

Nhân $2$ với $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $9$ với $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $3 x^{2} - 12 x + 9$ và $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 5.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Bước 6

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Bước 6.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Bước 6.2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Bước 6.2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Bước 6.2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Bước 6.2.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Bước 6.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Phân tích $x^{2} - 4 x + 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $3$ và tổng của chúng là $- 4$ .

$- 3, - 1$

Bước 6.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Bước 6.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Bước 6.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 6.4

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 6.4.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 6.5

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 6.5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 6.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 3, 1$

Bước 7

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 8

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 3, 1$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 3$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$6 (3) - 12$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $6$ với $3$ .

$18 - 12$

Bước 10.2

Trừ $12$ khỏi $18$ .

$6$

Bước 11

$x = 3$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 3$ là cực tiểu địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f (3) = {(3)}^{3} - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$f (3) = 27 - 6 {(3)}^{2} + 9 (3) + 1$

Bước 12.2.1.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (3) = 27 - 6 \cdot 9 + 9 (3) + 1$

Bước 12.2.1.3

Nhân $- 6$ với $9$ .

$f (3) = 27 - 54 + 9 (3) + 1$

Bước 12.2.1.4

Nhân $9$ với $3$ .

$f (3) = 27 - 54 + 27 + 1$

Bước 12.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Trừ $54$ khỏi $27$ .

$f (3) = - 27 + 27 + 1$

Bước 12.2.2.2

Cộng $- 27$ và $27$ .

$f (3) = 0 + 1$

Bước 12.2.2.3

Cộng $0$ và $1$ .

$f (3) = 1$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$6 (1) - 12$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $6$ với $1$ .

$6 - 12$

Bước 14.2

Trừ $12$ khỏi $6$ .

$- 6$

Bước 15

$x = 1$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 1$ là cực đại địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f (1) = {(1)}^{3} - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2} + 9 (1) + 1$

Bước 16.2.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 9 (1) + 1$

Bước 16.2.1.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$f (1) = 1 - 6 + 9 (1) + 1$

Bước 16.2.1.4

Nhân $9$ với $1$ .

$f (1) = 1 - 6 + 9 + 1$

Bước 16.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Trừ $6$ khỏi $1$ .

$f (1) = - 5 + 9 + 1$

Bước 16.2.2.2

Cộng $- 5$ và $9$ .

$f (1) = 4 + 1$

Bước 16.2.2.3

Cộng $4$ và $1$ .

$f (1) = 5$

Bước 16.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $5$ .

$y = 5$

Bước 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ .

$(3, 1)$ là một cực tiểu địa phương

$(1, 5)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 18