Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Bước 1.2.4.2

Nhân $2$ với $4$ .

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Bước 1.2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.4.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Bước 2.10

Nhân ${(x^{2} - 1)}^{3}$ với $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

Bước 2.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Bước 2.11.2

Nhân $6$ với $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Bước 2.11.3

Đưa $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ ra ngoài $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.3.1

Đưa $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ ra ngoài $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

Bước 2.11.3.2

Đưa $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ ra ngoài $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

Bước 2.11.3.3

Đưa $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ ra ngoài $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

Bước 2.11.4

Cộng $6 x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.5

Viết lại ${(x^{2} - 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.6

Khai triển $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.7

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.7.1.1

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.7.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.7.1.1.2

Cộng $2$ và $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.7.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.7.1.3

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.7.1.4

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.7.1.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.7.2

Trừ $x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.9.1

Nhân $- 2$ với $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.9.2

Nhân $8$ với $1$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

Bước 2.11.10

Khai triển $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.11.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.2

Nhân $x^{4}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.11.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.2.3

Cộng $2$ và $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.3

Nhân $8$ với $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.4

Nhân $- 1$ với $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.6

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.11.6.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.6.3

Cộng $2$ và $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.7

Nhân $- 16$ với $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.8

Nhân $- 1$ với $- 16$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.9

Nhân $7$ với $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

Bước 2.11.11.10

Nhân $8$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Bước 2.11.12

Trừ $112 x^{4}$ khỏi $- 8 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

Bước 2.11.13

Cộng $16 x^{2}$ và $56 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 4.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 4.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Bước 4.1.2.3

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $2$ với $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

Bước 4.1.2.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Bước 5.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Bước 5.3

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 5.4

Đặt ${(x^{2} - 1)}^{3}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đặt ${(x^{2} - 1)}^{3}$ bằng với $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

Bước 5.4.2

Giải ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

Bước 5.4.2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

Bước 5.4.2.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

Bước 5.4.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Bước 5.4.2.3

Đặt ${(x + 1)}^{3}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.1

Đặt ${(x + 1)}^{3}$ bằng với $0$ .

${(x + 1)}^{3} = 0$

Bước 5.4.2.3.2

Giải ${(x + 1)}^{3} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.3.2.1

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 5.4.2.3.2.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 5.4.2.4

Đặt ${(x - 1)}^{3}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.4.1

Đặt ${(x - 1)}^{3}$ bằng với $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Bước 5.4.2.4.2

Giải ${(x - 1)}^{3} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.4.2.1

Đặt $x - 1$ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 5.4.2.4.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 5.4.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ đúng.

$x = - 1, 1$

Bước 5.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ đúng.

$x = 0, - 1, 1$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, - 1, 1$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Bước 9.1.2

Nhân $56$ với $0$ .

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

Bước 9.1.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Bước 9.1.4

Nhân $- 120$ với $0$ .

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

Bước 9.1.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

Bước 9.1.6

Nhân $72$ với $0$ .

$0 + 0 + 0 - 8$

Bước 9.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + 0 - 8$

Bước 9.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0 - 8$

Bước 9.2.3

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$- 8$

Bước 10

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

Bước 11.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

Bước 11.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$f (0) = 1$

Bước 11.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - 1$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $6$ .

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Bước 13.1.2

Nhân $56$ với $1$ .

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Bước 13.1.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Bước 13.1.4

Nhân $- 120$ với $1$ .

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

Bước 13.1.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

Bước 13.1.6

Nhân $72$ với $1$ .

$56 - 120 + 72 - 8$

Bước 13.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Trừ $120$ khỏi $56$ .

$- 64 + 72 - 8$

Bước 13.2.2

Cộng $- 64$ và $72$ .

$8 - 8$

Bước 13.2.3

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$0$

Bước 14

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Bước 14.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.2.1

Nhân $8$ với $- 4$ .

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.2.2.2

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

Bước 14.2.2.3

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

Bước 14.2.2.4

Nâng $15$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

Bước 14.2.2.5

Nhân $- 32$ với $3375$ .

$f' (- 4) = - 108000$

Bước 14.2.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 108000$ .

$- 108000$

Bước 14.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 0.5$ , từ khoảng $(- 1, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 0.5$ trong biểu thức.

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.2.1

Nhân $8$ với $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.3.2.2

Nâng $- 0.5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Bước 14.3.2.3

Trừ $1$ khỏi $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

Bước 14.3.2.4

Nâng $- 0.75$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

Bước 14.3.2.5

Nhân $- 4$ với $- 0.421875$ .

$f' (- 0.5) = 1.6875$

Bước 14.3.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $1.6875$ .

$1.6875$

Bước 14.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0.5$ , từ khoảng $(0, 1)$ trong đạo hàm đầu tiên $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $0.5$ trong biểu thức.

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.2.1

Nhân $8$ với $0.5$ .

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.4.2.2

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

Bước 14.4.2.3

Trừ $1$ khỏi $0.25$ .

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

Bước 14.4.2.4

Nâng $- 0.75$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

Bước 14.4.2.5

Nhân $4$ với $- 0.421875$ .

$f' (0.5) = - 1.6875$

Bước 14.4.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Bước 14.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $4$ , từ khoảng $(1, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.1

Nhân $8$ với $4$ .

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

Bước 14.5.2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

Bước 14.5.2.3

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

Bước 14.5.2.4

Nâng $15$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

Bước 14.5.2.5

Nhân $32$ với $3375$ .

$f' (4) = 108000$

Bước 14.5.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $108000$ .

$108000$

Bước 14.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = - 1$ , nên $x = - 1$ là một cực tiểu địa phương.

$x = - 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 14.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 14.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 1$ , nên $x = 1$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 14.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$x = - 1$ là cực tiểu địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

$x = - 1$ là cực tiểu địa phương

$x = 0$ là cực đại địa phương

$x = 1$ là cực tiểu địa phương

Bước 15