Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{x} \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Bước 2.2.2

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Bước 2.4.2.2

Viết lại $- 1 e^{x}$ ở dạng $- e^{x}$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Bước 2.4.2.3

Trừ $e^{x} \sin (x)$ khỏi $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Bước 2.4.2.4

Cộng $- e^{x} \cos (x)$ và $\cos (x) e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.4.1

Sắp xếp lại $\cos (x)$ và $e^{x}$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Bước 2.4.2.4.2

Cộng $- e^{x} \cos (x)$ và $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

Bước 2.4.2.5

Cộng $- 2 e^{x} \sin (x)$ và $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

Bước 4

Phân tích $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Bước 4.1.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Bước 4.1.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Bước 4.2

Viết lại $- 1 \sin (x)$ ở dạng $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Bước 5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Bước 6

Đặt $e^{x}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $e^{x}$ bằng với $0$ .

$e^{x} = 0$

Bước 6.2

Giải $e^{x} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Bước 6.2.2

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Bước 6.2.3

Không có đáp án nào cho $e^{x} = 0$

Không có đáp án

Bước 7

Đặt $- \sin (x) + \cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đặt $- \sin (x) + \cos (x)$ bằng với $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Bước 7.2

Giải $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong phương trình cho $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7.2.2

Tách các phân số.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7.2.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Bước 7.2.6

Tách các phân số.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 7.2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Bước 7.2.8

Chia $0$ cho $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Bước 7.2.9

Nhân $0$ với $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Bước 7.2.10

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \tan (x) = - 1$

Bước 7.2.11

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.11.1

Chia mỗi số hạng trong $- \tan (x) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 7.2.11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.11.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 7.2.11.2.2

Chia $\tan (x)$ cho $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 7.2.11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.11.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Bước 7.2.12

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm tang.

$x = \arctan (1)$

Bước 7.2.13

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.13.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Bước 7.2.14

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = π + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.15

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.15.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.15.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.15.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 7.2.15.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 7.2.15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.15.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 7.2.15.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Bước 7.2.16

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Bước 8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bước 10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

Bước 11

$x = \frac{π}{4}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{4}$ là cực đại địa phương

Bước 12

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 12.2.2

Kết hợp $e^{\frac{π}{4}}$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 12.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 13

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{5 π}{4}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ ba.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Bước 14.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ vào tử số.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 14.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 14.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Bước 14.3.4

Viết lại biểu thức.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

Bước 14.4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Bước 14.4.2

Nhân $e^{\frac{5 π}{4}}$ với $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Bước 15

$x = \frac{5 π}{4}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{5 π}{4}$ là cực tiểu địa phương

Bước 16

Tìm giá trị y khi $x = \frac{5 π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{5 π}{4}$ trong biểu thức.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Bước 16.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ ba.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Bước 16.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Bước 16.2.3

Kết hợp $e^{\frac{5 π}{4}}$ và $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 16.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Bước 17

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ là một cực đại địa phuơng

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 18