Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 3 x + 1$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{\frac{4}{3}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{4}{3}$ .

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.6.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.7

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.8

Kết hợp $5$ và $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.9

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.8

Nhân $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.9

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.10

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.11

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.12

Chia $x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 + 0$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Cộng $\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$ và $0$ .

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$

Bước 7.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x - x^{\frac{1}{2}} + \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 3$