Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = e^{x} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

Bước 4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

Bước 4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{e^{x} + 1}$ và $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$