Giải tích Ví dụ

Tìm Cực Đại Địa Phương và Cực Tiểu Địa Phương f(x)=7x-2x logarit tự nhiên của x
Bước 1
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.2.3
Nhân với .
Bước 1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.3
Đạo hàm của đối với .
Bước 1.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 1.3.5
Kết hợp .
Bước 1.3.6
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.3.6.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 1.3.6.2
Viết lại biểu thức.
Bước 1.3.7
Nhân với .
Bước 1.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 1.4.2
Kết hợp các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 1.4.2.1
Nhân với .
Bước 1.4.2.2
Trừ khỏi .
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.2
là hằng số đối với , đạo hàm của đối với .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.3
Kết hợp .
Bước 2.2.4
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 2.3
Trừ khỏi .
Bước 3
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 4
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.2.3
Nhân với .
Bước 4.1.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.3
Đạo hàm của đối với .
Bước 4.1.3.4
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 4.1.3.5
Kết hợp .
Bước 4.1.3.6
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.3.6.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 4.1.3.6.2
Viết lại biểu thức.
Bước 4.1.3.7
Nhân với .
Bước 4.1.4
Rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.4.1
Áp dụng thuộc tính phân phối.
Bước 4.1.4.2
Kết hợp các số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 4.1.4.2.1
Nhân với .
Bước 4.1.4.2.2
Trừ khỏi .
Bước 4.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 5
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 5.2
Trừ khỏi cả hai vế của phương trình.
Bước 5.3
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 5.3.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 5.3.2.1.2
Chia cho .
Bước 5.3.3
Rút gọn vế phải.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.3.3.1
Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.
Bước 5.4
Để giải tìm , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.
Bước 5.5
Viết lại dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu là các số thực dương và , thì sẽ tương đương với .
Bước 5.6
Viết lại phương trình ở dạng .
Bước 6
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Đặt đối số trong nhỏ hơn hoặc bằng để tìm nơi biểu thức không xác định.
Bước 6.2
Phương trình không xác định tại mẫu số bằng , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng .
Bước 7
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 8
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 9
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 10
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 10.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.1.1
Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển ra khỏi số mũ.
Bước 10.2.1.2
Logarit tự nhiên của .
Bước 10.2.1.3
Nhân với .
Bước 10.2.1.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.2.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 10.2.1.4.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 10.2.1.4.3
Viết lại biểu thức.
Bước 10.2.1.5
Nhân với .
Bước 10.2.2
Trừ khỏi .
Bước 10.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 11
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực đại địa phuơng
Bước 12