Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Bước 2.3

Trừ $\sin (x)$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$1 + \cos (x) = 0$

Bước 4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos (x) = - 1$

Bước 5

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- 1)$

Bước 6

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\arccos (- 1)$ là $π$ .

$x = π$

Bước 7

Hàm cosin âm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu từ $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π - π$

Bước 8

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$x = π$

Bước 9

Đáp án của phương trình $x = π$ .

$x = π, π$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = π$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \sin (π)$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \sin (0)$

Bước 11.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 0$

Bước 11.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$

Bước 12

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Bước 12.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \infty, π)$ trong đạo hàm đầu tiên $1 + \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Bước 12.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Bước 12.2.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (0) = 2$

Bước 12.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 12.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $6$ , từ khoảng $(π, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $1 + \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Bước 12.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.2.1

Tính $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Bước 12.3.2.2

Cộng $1$ và $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Bước 12.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1.96017028$ .

$1.96017028$

Bước 12.4

Vì đạo hàm bậc nhất không thay đổi dấu xung quanh $x = π$ , nên đây không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương.

Không phải là một cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 12.5

Không tìm được cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương cho $f (x) = x + \sin (x)$ .

Không có cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương

Bước 13