Giải tích Ví dụ

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $100 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $100 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $40$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $40 y$ đối với $y$ là $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.2.3

Nhân $40$ với $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.3

Vì $- 5 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 5 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y^{2}$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Cộng $0$ và $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Bước 1.5.1.2

Cộng $40$ và $0$ .

$40 - 4 y$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 4 y + 40$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 y + 40$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [40]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (- 4 y) + \frac{d}{d y} (40)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 4 y$ đối với $y$ là $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = - 4 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (40)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$u'' (y) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (40)$

Bước 2.2.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$u'' (y) = - 4 + \frac{d}{d y} (40)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $40$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $40$ đối với $y$ là $0$ .

$u'' (y) = - 4 + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $- 4$ và $0$ .

$u'' (y) = - 4$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$- 4 y + 40 = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 4.1.1.2

Vì $100 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $100 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 4.1.2

Tính $\frac{d}{d y} [40 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Vì $40$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $40 y$ đối với $y$ là $40 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 4.1.2.3

Nhân $40$ với $1$ .

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 4.1.3

Vì $- 5 x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 5 x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Bước 4.1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y^{2}$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

Bước 4.1.4.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$0 + 40 + 0 - 4 y$

Bước 4.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1.1

Cộng $0$ và $40$ .

$40 + 0 - 4 y$

Bước 4.1.5.1.2

Cộng $40$ và $0$ .

$40 - 4 y$

Bước 4.1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (y) = - 4 y + 40$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $u (y)$ đối với $y$ là $- 4 y + 40$ .

$- 4 y + 40$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 4 y + 40 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 4 y + 40 = 0$

Bước 5.2

Trừ $40$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 y = - 40$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- 4 y = - 40$ cho $- 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- 4 y = - 40$ cho $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- 40}{- 4}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia $- 40$ cho $- 4$ .

$y = 10$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$y = 10$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $y = 10$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- 4$

Bước 9

$y = 10$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$y = 10$ là cực đại địa phương

Bước 10

Tìm giá trị y khi $y = 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế biến $y$ bằng $10$ trong biểu thức.

$u (10) = 100 x + 40 (10) - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Bước 10.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Nhân $40$ với $10$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

Bước 10.2.1.2

Nâng $10$ lên lũy thừa $2$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 \cdot 100$

Bước 10.2.1.3

Nhân $- 2$ với $100$ .

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 200$

Bước 10.2.2

Trừ $200$ khỏi $400$ .

$u (10) = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Bước 10.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $100 x - 5 x^{2} + 200$ .

$y = 100 x - 5 x^{2} + 200$

Bước 11

Đây là những cực trị địa phương cho $u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ .

$(10, 100 x - 5 x^{2} + 200)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 12