Giải tích Ví dụ

Tìm Cực Đại Địa Phương và Cực Tiểu Địa Phương y=x^4-3x^2
Bước 1
Viết ở dạng một hàm số.
Bước 2
Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 2.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 2.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 2.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 2.2.3
Nhân với .
Bước 3
Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 3.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 3.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.2.3
Nhân với .
Bước 3.3
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 3.3.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 3.3.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 3.3.3
Nhân với .
Bước 4
Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng và giải.
Bước 5
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1
Tìm đạo hàm bậc một.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.1
Tìm đạo hàm.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.1.1
Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.1.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.2
Tính .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 5.1.2.1
không đổi đối với , nên đạo hàm của đối với .
Bước 5.1.2.2
Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng trong đó .
Bước 5.1.2.3
Nhân với .
Bước 5.2
Đạo hàm bậc nhất của đối với .
Bước 6
Cho đạo hàm bằng rồi giải phương trình .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.1
Cho đạo hàm bằng .
Bước 6.2
Đưa ra ngoài .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 6.2.2
Đưa ra ngoài .
Bước 6.2.3
Đưa ra ngoài .
Bước 6.3
Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng , toàn bộ biểu thức sẽ bằng .
Bước 6.4
Đặt bằng với .
Bước 6.5
Đặt bằng và giải tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.1
Đặt bằng với .
Bước 6.5.2
Giải để tìm .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.1
Cộng cho cả hai vế của phương trình.
Bước 6.5.2.2
Chia mỗi số hạng trong cho và rút gọn.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.2.1
Chia mỗi số hạng trong cho .
Bước 6.5.2.2.2
Rút gọn vế trái.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.2.2.1
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.2.2.1.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.5.2.2.2.1.2
Chia cho .
Bước 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Bước 6.5.2.4
Rút gọn .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.4.1
Viết lại ở dạng .
Bước 6.5.2.4.2
Nhân với .
Bước 6.5.2.4.3
Kết hợp và rút gọn mẫu số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.4.3.1
Nhân với .
Bước 6.5.2.4.3.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.5.2.4.3.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 6.5.2.4.3.4
Sử dụng quy tắc lũy thừa để kết hợp các số mũ.
Bước 6.5.2.4.3.5
Cộng .
Bước 6.5.2.4.3.6
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.4.3.6.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 6.5.2.4.3.6.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 6.5.2.4.3.6.3
Kết hợp .
Bước 6.5.2.4.3.6.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.4.3.6.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 6.5.2.4.3.6.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 6.5.2.4.3.6.5
Tính số mũ.
Bước 6.5.2.4.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.4.4.1
Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.
Bước 6.5.2.4.4.2
Nhân với .
Bước 6.5.2.5
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 6.5.2.5.1
Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của để tìm đáp án đầu tiên.
Bước 6.5.2.5.2
Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của để tìm đáp án thứ hai.
Bước 6.5.2.5.3
Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.
Bước 6.6
Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho đúng.
Bước 7
Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 7.1
Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.
Bước 8
Các điểm cực trị cần tính.
Bước 9
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 10
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 10.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 10.1.2
Nhân với .
Bước 10.2
Trừ khỏi .
Bước 11
là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực đại địa phương
Bước 12
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 12.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 12.2.1.1
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 12.2.1.2
Nâng lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho .
Bước 12.2.1.3
Nhân với .
Bước 12.2.2
Cộng .
Bước 12.2.3
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 13
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 14
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 14.1.2
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1.2.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 14.1.2.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 14.1.2.3
Kết hợp .
Bước 14.1.2.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1.2.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 14.1.2.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 14.1.2.5
Tính số mũ.
Bước 14.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 14.1.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 14.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 14.1.4.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 14.1.4.3
Viết lại biểu thức.
Bước 14.1.5
Nhân với .
Bước 14.2
Trừ khỏi .
Bước 15
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 16
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 16.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 16.2.1.2
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.2.1
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.2.1.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 16.2.1.2.1.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 16.2.1.2.1.3
Kết hợp .
Bước 16.2.1.2.1.4
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.2.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 16.2.1.2.1.4.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.2.1.4.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 16.2.1.2.1.4.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 16.2.1.2.1.4.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 16.2.1.2.1.4.2.4
Chia cho .
Bước 16.2.1.2.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 16.2.1.3
Nâng lên lũy thừa .
Bước 16.2.1.4
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 16.2.1.4.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.4.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 16.2.1.4.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 16.2.1.4.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 16.2.1.5
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 16.2.1.6
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.6.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 16.2.1.6.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 16.2.1.6.3
Kết hợp .
Bước 16.2.1.6.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.6.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 16.2.1.6.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 16.2.1.6.5
Tính số mũ.
Bước 16.2.1.7
Nâng lên lũy thừa .
Bước 16.2.1.8
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.8.1
Đưa ra ngoài .
Bước 16.2.1.8.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.8.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 16.2.1.8.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 16.2.1.8.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 16.2.1.9
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.1.9.1
Kết hợp .
Bước 16.2.1.9.2
Nhân với .
Bước 16.2.1.10
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 16.2.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 16.2.3
Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.3.1
Nhân với .
Bước 16.2.3.2
Nhân với .
Bước 16.2.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 16.2.5
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 16.2.5.1
Nhân với .
Bước 16.2.5.2
Trừ khỏi .
Bước 16.2.6
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 16.2.7
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 17
Tính đạo hàm bậc hai tại . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.
Bước 18
Tính đạo hàm bậc hai.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 18.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 18.1.1
Sử dụng quy tắc lũy thừa để phân phối các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 18.1.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 18.1.1.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 18.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 18.1.3
Nhân với .
Bước 18.1.4
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 18.1.4.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 18.1.4.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 18.1.4.3
Kết hợp .
Bước 18.1.4.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 18.1.4.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 18.1.4.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 18.1.4.5
Tính số mũ.
Bước 18.1.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 18.1.6
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 18.1.6.1
Đưa ra ngoài .
Bước 18.1.6.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 18.1.6.3
Viết lại biểu thức.
Bước 18.1.7
Nhân với .
Bước 18.2
Trừ khỏi .
Bước 19
là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.
là cực tiểu địa phương
Bước 20
Tìm giá trị y khi .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.1
Thay thế biến bằng trong biểu thức.
Bước 20.2
Rút gọn kết quả.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1
Rút gọn mỗi số hạng.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.1
Sử dụng quy tắc lũy thừa để phân phối các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.1.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 20.2.1.1.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 20.2.1.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 20.2.1.3
Nhân với .
Bước 20.2.1.4
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.4.1
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.4.1.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 20.2.1.4.1.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 20.2.1.4.1.3
Kết hợp .
Bước 20.2.1.4.1.4
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.4.1.4.1
Đưa ra ngoài .
Bước 20.2.1.4.1.4.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.4.1.4.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 20.2.1.4.1.4.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 20.2.1.4.1.4.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 20.2.1.4.1.4.2.4
Chia cho .
Bước 20.2.1.4.2
Nâng lên lũy thừa .
Bước 20.2.1.5
Nâng lên lũy thừa .
Bước 20.2.1.6
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.6.1
Đưa ra ngoài .
Bước 20.2.1.6.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.6.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 20.2.1.6.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 20.2.1.6.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 20.2.1.7
Sử dụng quy tắc lũy thừa để phân phối các số mũ.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.7.1
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 20.2.1.7.2
Áp dụng quy tắc tích số cho .
Bước 20.2.1.8
Nâng lên lũy thừa .
Bước 20.2.1.9
Nhân với .
Bước 20.2.1.10
Viết lại ở dạng .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.10.1
Sử dụng để viết lại ở dạng .
Bước 20.2.1.10.2
Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, .
Bước 20.2.1.10.3
Kết hợp .
Bước 20.2.1.10.4
Triệt tiêu thừa số chung .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.10.4.1
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 20.2.1.10.4.2
Viết lại biểu thức.
Bước 20.2.1.10.5
Tính số mũ.
Bước 20.2.1.11
Nâng lên lũy thừa .
Bước 20.2.1.12
Triệt tiêu thừa số chung của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.12.1
Đưa ra ngoài .
Bước 20.2.1.12.2
Triệt tiêu các thừa số chung.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.12.2.1
Đưa ra ngoài .
Bước 20.2.1.12.2.2
Triệt tiêu thừa số chung.
Bước 20.2.1.12.2.3
Viết lại biểu thức.
Bước 20.2.1.13
Nhân .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.1.13.1
Kết hợp .
Bước 20.2.1.13.2
Nhân với .
Bước 20.2.1.14
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 20.2.2
Để viết ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với .
Bước 20.2.3
Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của .
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.3.1
Nhân với .
Bước 20.2.3.2
Nhân với .
Bước 20.2.4
Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.
Bước 20.2.5
Rút gọn tử số.
Nhấp để xem thêm các bước...
Bước 20.2.5.1
Nhân với .
Bước 20.2.5.2
Trừ khỏi .
Bước 20.2.6
Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.
Bước 20.2.7
Câu trả lời cuối cùng là .
Bước 21
Đây là những cực trị địa phương cho .
là một cực đại địa phuơng
là một cực tiểu địa phương
là một cực tiểu địa phương
Bước 22