Giải tích Ví dụ

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Bước 2.3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 2.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Bước 2.4.2.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Bước 2.4.2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Bước 4

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Bước 5

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Bước 6

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Bước 6.2

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Bước 6.3

Đưa $2 \cos (x)$ ra ngoài $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Bước 7

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Bước 8

Đặt $\cos (x)$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Đặt $\cos (x)$ bằng với $0$ .

$\cos (x) = 0$

Bước 8.2

Giải $\cos (x) = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (0)$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (0)$ là $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 8.2.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Bước 8.2.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 8.2.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Bước 8.2.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Bước 8.2.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.3.1

Nhân $2$ với $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Bước 8.2.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 8.2.5

Đáp án của phương trình $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 9

Đặt $\sin (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đặt $\sin (x) + 1$ bằng với $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Bước 9.2

Giải $\sin (x) + 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sin (x) = - 1$

Bước 9.2.2

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$x = \arcsin (- 1)$

Bước 9.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (- 1)$ là $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Bước 9.2.4

Hàm sin âm trong góc phần tư thứ ba và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ đáp án khỏi $2 π$ , để tìm góc tham chiếu. Tiếp theo, cộng góc tham chiếu này vào $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ ba.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Bước 9.2.5

Rút gọn biểu thức để tìm đáp án thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.1

Trừ $2 π$ khỏi $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Bước 9.2.5.2

Góc tìm được $\frac{3 π}{2}$ dương, nhỏ hơn $2 π$ , và có chung cạnh cuối với $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Bước 9.2.6

Đáp án của phương trình $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Bước 10

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ đúng.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.1.4

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.1.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Bước 12.1.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1$

Bước 12.1.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 - 2$

Bước 12.2

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$- 4$

Bước 13

$x = \frac{π}{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 14

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 14.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 14.2.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 14.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

Bước 14.2.1.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

Bước 14.2.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

Bước 14.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Bước 14.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$y = 2$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{3 π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.2

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.3

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.5

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.5.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 16.1.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 16.1.7

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Bước 16.1.8

Nhân $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.8.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 - 2 \cdot - 1$

Bước 16.1.8.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- 2 + 2$

Bước 16.2

Cộng $- 2$ và $2$ .

$0$

Bước 17

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Bước 17.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, - \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

Bước 17.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.2.1.1

Nhân $2$ với $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

Bước 17.2.2.1.2

Tính $\sin (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

Bước 17.2.2.1.3

Tính $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

Bước 17.2.2.1.4

Nhân $2$ với $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

Bước 17.2.2.2

Trừ $1.30728724$ khỏi $- 0.98935824$ .

$f' (- 4) = - 2.29664548$

Bước 17.2.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.29664548$ .

$- 2.29664548$

Bước 17.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $0$ , từ khoảng $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Bước 17.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.2.1.1

Nhân $2$ với $0$ .

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

Bước 17.3.2.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Bước 17.3.2.1.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Bước 17.3.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Bước 17.3.2.2

Cộng $0$ và $2$ .

$f' (0) = 2$

Bước 17.3.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 17.4

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $3$ , từ khoảng $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

Bước 17.4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.4.2.1.1

Nhân $2$ với $3$ .

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

Bước 17.4.2.1.2

Tính $\sin (6)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

Bước 17.4.2.1.3

Tính $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

Bước 17.4.2.1.4

Nhân $2$ với $- 0.98999249$ .

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

Bước 17.4.2.2

Trừ $1.97998499$ khỏi $- 0.27941549$ .

$f' (3) = - 2.25940049$

Bước 17.4.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 2.25940049$ .

$- 2.25940049$

Bước 17.5

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $7$ , từ khoảng $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.1

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

Bước 17.5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.5.2.1.1

Nhân $2$ với $7$ .

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

Bước 17.5.2.1.2

Tính $\sin (14)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

Bước 17.5.2.1.3

Tính $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

Bước 17.5.2.1.4

Nhân $2$ với $0.75390225$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

Bước 17.5.2.2

Cộng $0.99060735$ và $1.5078045$ .

$f' (7) = 2.49841186$

Bước 17.5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $2.49841186$ .

$2.49841186$

Bước 17.6

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = - \frac{π}{2}$ , nên $x = - \frac{π}{2}$ là một cực tiểu địa phương.

$x = - \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 17.7

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = \frac{π}{2}$ , nên $x = \frac{π}{2}$ là một cực đại địa phương.

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 17.8

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = \frac{3 π}{2}$ , nên $x = \frac{3 π}{2}$ là một cực tiểu địa phương.

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 17.9

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$x = - \frac{π}{2}$ là cực tiểu địa phương

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

$x = \frac{3 π}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 18