Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{2}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Nhân $2$ với $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 8 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

Nhân $- 8$ với $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{2}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

Nhân $2$ với $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Đưa $4 x$ ra ngoài $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Đưa $4 x$ ra ngoài $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Đặt $x^{2} - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x^{2} - 2$ bằng với $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Giải $x^{2} - 2 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = 2$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{2}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{2}$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{2}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $4 x (x^{2} - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Step 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$12 \cdot 0 - 8$

Nhân $12$ với $0$ .

$0 - 8$

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$- 8$

Step 10

$x = 0$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Step 11

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Nhân $- 4$ với $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Cộng $0$ và $0$ .

$f (0) = 0$

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Step 12

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \sqrt{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Viết lại biểu thức.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Tính số mũ.

$12 \cdot 2 - 8$

Nhân $12$ với $2$ .

$24 - 8$

Trừ $8$ khỏi $24$ .

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \sqrt{2}$ là cực tiểu địa phương

Step 15

Tìm giá trị y khi $x = \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $\sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại ${\sqrt{2}}^{4}$ ở dạng $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Chia $2$ cho $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Tính số mũ.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Nhân $- 4$ với $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4$

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$y = - 4$

Step 16

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = - \sqrt{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Nhân ${\sqrt{2}}^{2}$ với $1$ .

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Viết lại biểu thức.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Tính số mũ.

$12 \cdot 2 - 8$

Nhân $12$ với $2$ .

$24 - 8$

Trừ $8$ khỏi $24$ .

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = - \sqrt{2}$ là cực tiểu địa phương

Step 19

Tìm giá trị y khi $x = - \sqrt{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- \sqrt{2}$ trong biểu thức.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Nhân ${\sqrt{2}}^{4}$ với $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Viết lại ${\sqrt{2}}^{4}$ ở dạng $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Viết lại biểu thức.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Chia $2$ cho $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Nhân ${\sqrt{2}}^{2}$ với $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Viết lại biểu thức.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Tính số mũ.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Nhân $- 4$ với $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

Trừ $8$ khỏi $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

Câu trả lời cuối cùng là $- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

$(0, 0)$ là một cực đại địa phuơng

$(\sqrt{2}, - 4)$ là một cực tiểu địa phương

$(- \sqrt{2}, - 4)$ là một cực tiểu địa phương

Step 21