Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

Bước 1

Nhân để trục căn thức ở tử.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển tử số bằng phương pháp FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Bước 2.2.2

Cộng $2 x + 1$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

Bước 3.1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 3.1.1.3

Viết lại đa thức này.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

Bước 3.1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

Bước 3.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

Bước 3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Cộng $x$ và $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} 1$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$1$