Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ ở dạng $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ bằng cách di chuyển $\frac{2}{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Bước 2.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Bước 2.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

Bước 2.7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Bước 2.8

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Bước 2.9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Bước 4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Bước 4.1.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\ln (e^{8} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Dạng thập phân:

$7.38967570 \dots$