Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ bằng cách di chuyển $\cot (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Bước 2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (x) \ln (1 + x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (x) \ln (1 + x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $1$ .

$1$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\cot (x) \ln (1 + x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $1$ . Cho nên, giới hạn của $\cot (x) \ln (1 + x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $1$ .

$e^{1}$

Bước 9

Rút gọn.

$e$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e$

Dạng thập phân:

$2.71828182 \dots$