Giải tích Ví dụ

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ ở dạng $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ .

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Bước 1.2

Khai triển $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $\tan (2 x) \tan (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1.1

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.1.2

Nâng $\tan (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Sắp xếp lại $\tan (2 x)$ và $\cot (2 x)$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.2.2

Viết lại $\tan (2 x) \cot (2 x)$ theo sin và cosin.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.3

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.3.1

Viết lại $\cot (2 x) \tan (2 x)$ theo sin và cosin.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.4

Nhân $\cot (2 x) \cot (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.4.1

Nâng $\cot (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

Bước 1.3.1.4.2

Nâng $\cot (2 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

Bước 1.3.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

Bước 1.3.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 4

Kết hợp $\tan^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (u_{1})$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 9

Vì đạo hàm của $\tan (u_{1})$ là $\sec^{2} (u_{1})$ , tích phân của $\sec^{2} (u_{1})$ là $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 11.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 12

Kết hợp $\cot^{2} (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 14

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (u_{2})$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 15

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 17

Vì đạo hàm của $- \cot (u_{2})$ là $\csc^{2} (u_{2})$ , tích phân của $\csc^{2} (u_{2})$ là $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Rút gọn.

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

Bước 18.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Để viết $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 18.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Bước 18.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Bước 18.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Bước 18.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Bước 18.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Bước 18.2.6

Nhân $- u_{2} - \cot (u_{2})$ với $1$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Bước 19

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Bước 19.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Bước 20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 x}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Bước 20.1.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Bước 20.2

Chia $x$ cho $1$ .

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Bước 20.3

Cộng $- x$ và $2 x$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Bước 20.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

Bước 21

Sắp xếp lại các số hạng.

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$