Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

Bước 1.2

Đưa $\sin^{3} (x)$ ra ngoài $\sin^{4} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

Bước 1.3

Tách các phân số.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

Bước 1.4

Quy đổi từ $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ sang $\cot^{3} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

Bước 1.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

Bước 2

Viết $\cot^{3} (x)$ ở dạng $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \csc (x)$ . Sau đó $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , nên $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \csc (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Bước 4.1.3

Sắp xếp lại các thừa số của $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

Bước 5

Nhân $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$u + C - \int u^{2} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$