Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{3} (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \cot (x)$ . Sau đó $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \cot (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\cot (x)$ đối với $x$ là $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $u^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Bước 6.1.2

Di chuyển $u^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Bước 6.2

Rút gọn.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Bước 6.3.2

Nhân $\frac{1}{2 u^{2}}$ với $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cot (x)$ .

$\frac{1}{2 \cot^{2} (x)} + C$