Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} \ln (5 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (5 x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{5 x}$ và $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = \frac{x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{5} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Kết hợp $5$ và $\frac{x}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5 x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = \frac{5 x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.4.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$f' (x) = x + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (5 x) (2 x)$

Bước 1.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 2 x \ln (5 x) + x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x \ln (5 x) + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x \ln (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \ln (5 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (5 x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.7

Nhân $5$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.8

Kết hợp $\frac{1}{5 x}$ và $5$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{5}{5 x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{5}{5 x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.10

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.11.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.2.12

Nhân $\ln (5 x)$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x)) + 1$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (5 x) + 1$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (5 x) + 1$

Bước 2.4.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (5 x) + 3$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \ln (5 x) + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \ln (5 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.5

Nhân $5$ với $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.6

Kết hợp $\frac{1}{5 x}$ và $5$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{5}{5 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f''' (x) = 2 (\frac{5}{5 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $\frac{2}{x}$ và $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Bước 4.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Bước 4.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 4.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Bước 4.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$