Giải tích Ví dụ

$y = e^{- x} + e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{- x} + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.2.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{- x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 2.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 2.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Bước 2.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Bước 2.3.9

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Bước 3.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Bước 3.3.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Bước 3.3.6

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} - e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{- x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 4.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 4.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 4.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 4.3.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 4.3.7

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

Bước 4.3.8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Bước 4.3.9

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$